Тела притягиваются друг другу с силой. Два любых тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению масс этих тел и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Притягивается ли Земля к висящему на ветке яблоку

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Закон всемирного тяготения открыл И. Ньютоном:

Два тела притягиваются друг к другу с , прямо пропорциональной произведению их и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

Описание закона всемирного тяготения

Коэффициент — это гравитационная постоянная. В системе СИ гравитационная постоянная имеет значение:

Эта постоянная, как видно, очень мала, поэтому силы тяготения между телами, имеющими небольшие массы, тоже малы и практически не ощущаются. Однако движение космических тел полностью определяется гравитацией. Наличие всемирного тяготения или, другими словами, гравитационного взаимодействия объясняет, на чем «держатся» Земля и планеты, и почему они двигаются вокруг Солнца по определенным траекториям, а не улетают от него прочь. Закон всемирного тяготения позволяет определить многие характеристики небесных тел – массы планет, звезд, галактик и даже черных дыр. Этот закон позволяет с большой точностью рассчитать орбиты планет и создать математическую модель Вселенной.

С помощью закона всемирного тяготения также можно рассчитать космические скорости. Например, минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью Земли, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите – 7,9 км/с (первая космическая скорость). Для того, чтобы покинуть Землю, т.е. преодолеть ее гравитационное притяжение, тело должно иметь скорость 11,2 км/с, (вторая космическая скорость).

Гравитация является одним из самых удивительных феноменов природы. В отсутствии сил гравитации существование Вселенной было бы невозможно, Вселенная не могла бы даже возникнуть. Гравитация ответственна за многие процессы во Вселенной – ее рождение, существование порядка вместо хаоса. Природа гравитации до сих пор до конца неразгаданна. До настоящего времени никто не смог разработать достойный механизм и модель гравитационного взаимодействия.

Сила тяжести

Частным случаем проявления гравитационных сил является сила тяжести.

Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз (по направлению к центру Земли).

Если на тело действует сила тяжести, то тело совершает . Вид движения зависит от направления и модуля начальной скорости.

С действием силы тяжести мы сталкиваемся каждый день. , через некоторое время оказывается на земле. Книга, выпущенная из рук, падает вниз. Подпрыгнув, человек не улетает в открытый космос, а опускается вниз, на землю.

Рассматривая свободное падение тела вблизи поверхности Земли как результат гравитационного взаимодействия этого тела с Землей, можно записать:

откуда ускорение свободного падения:

Ускорение свободного падения не зависит от массы тела, а зависит от высоты тела над Землей. Земной шар немного сплюснут у полюсов, поэтому тела, находящиеся около полюсов, расположены немного ближе к центру Земли. В связи с этим ускорение свободного падения зависит от широты местности: на полюсе оно немного больше, чем на экваторе и других широтах (на экваторе м/с , на Северном полюсе экваторе м/с .

Эта же формула позволяет найти ускорение свободного падения на поверхности любой планеты массой и радиусом .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1 (задача о «взвешивании» Земли)

ПРИМЕР 2

Все тела притягиваются друг к другу. Для материальных точек (или шаров) закон всемирного тяготения имеет вид

где, - массы тел, - расстояние между материальными точками или центрами шаров, - гравитационная постоянная. Массы, входящие в этот закон, есть мера гравитационного взаимодействия тел. Опыт показывает, что гравитационная и инертная массы равны.

Физический смысл: гравитационная постоянная численно равна силе притяжения, действующей между двумя материальными точками или шарами массами 1 кг, расположенными на расстоянии 1 м друг от друга, . Если тело массы находится над поверхностью 3емли на высоте, то на него действует сила тяготения, равная

где - масса Земли, - радиус Земли. Вблизи земной поверхности на все тела действует сила, обусловленная притяжением, -- сила тяжести.

Сила тяжести определяется силой притяжения Земли и тем, что Земля вращается вокруг собственной оси.

В связи с малостью угловой скорости вращения Земли () сила тяжести мало отличается от силы тяготения. При ускорение, создаваемое силой тяжести, является ускорением свободного падения:

Очевидно, что ускорение свободного падения для всех тел одинаково.

Весом тела называется сила, с которой тело действует на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес, и эта сила приложена либо к опоре, либо к подвесу.

Второй закон Ньютона. Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально силе, действующей на тело, и обратно пропорционально его массе и совпадает по направлению с действующей силой:

Если на тело действует несколько сил, то под F понимают результирующую всех действующих сил. Уравнение (2.7) выражает основной закон динамики материальной точки. Движение твердого тела зависит не только от приложенных сил, но и от точки их приложения. Можно показать, что ускорение центра тяжести (центр масс) не зависит от точки приложения сил и справедливо уравнение

где - масса тела, - ускорение его центра тяжести. Если тело движется поступательно, то это уравнение полностью описывает движение тела.

Импульсом тела называют произведение массы тела на его скорость:

Импульс является векторной величиной и зависит одновременно как от состояния движения (скорости), так и от его инертных свойств (массы).

Пусть в некоторый начальный момент времени импульс тела имел значение, а в последующий момент времени приобрел новое значение (при этом масса с течением времени не меняется). Тогда за интервал времени импульс изменился на величину. Тогда

Из кинематики известно, что равно ускорению тела, значит. С учетом (2.7):

Третий закон Ньютона. Всякому действию всегда есть равное и противоположно направленное противодействие.

Так, если взаимодействуют два тела А и В с силами F1 и F2, то эти силы равны по величине, противоположны по направлению, направлены вдоль одной прямой и приложены к разным телам (рис. 2.4).

Природа этих сил всегда одинакова. Приведем следующий пример. Тело массой лежит на столе. Сила, с которой тело действует на стол, Р (вес тела), приложена к столу, сила, с которой стол действует на тело, N (сила реакции опоры), приложена к телу (рис. 2.5). Согласно 3-му закону Ньютона, . Сила FТ, с которой Земля действует на тело массой, равна, приложена к телу и направлена к центру Земли; сила, с которой тело действует на Землю, F приложена к центру Земли и направлена к центру масс тела (рис. 2.6).

Первый закон Ньютона необходим для того, чтобы определить те системы отсчета, в которых справедлив второй закон Ньютона. Системы отсчета, в которых выполняется 1-й закон Ньютона, называются инерциальными, те системы отсчета, в которых 1-ый закон Ньютона не выполняется, - неинерциальными.

Рассмотрим следующий пример. К потолку неподвижного нагона подвешен груз, который видят наблюдатель 1, сидящий в вагоне, и наблюдатель 2, находящийся на платформе (рис. 2.7). Нить маятника вертикальна, что естественно с точки зрения наблюдателей 1 и 2, так как на груз действуют две вертикальные силы: сила натяжения нити Т и сила тяжести FТ, равные по величине и противоположные по направлению. Если же вагон движется с ускорением а, то с точки зрения наблюдателя 2 нить должна отклониться от вертикали, так как на груз продолжают действовать те же силы, но результирующая этих сил уже не будет равняться 0, чтобы обеспечить движение, маятника с ускорением а.

С точки зрения наблюдателя 1 маятник остается в покое относительно стенок вагона, и результирующая сил, действующая на маятник, должна равняться нулю. Но так как нить отклонена, то наблюдатель должен предположить наличие силы, которая в сумме с силой натяжения нити и силой тяжести дает 0. Это сила инерции. Но эта сила уже не является результатом взаимодействия тел, а является результатом того, что мы рассматриваем движение тела относительно системы отсчета, движущейся с ускорением.

Система, связанная с наблюдателем 1, - неинерциальная, система связанна с наблюдателем 2, - инерциальная. Мы будем рассматривать движение тел только относительно инерциальных систем отсчета. Подчеркнем, что сила есть результат взаимодействия реальных тел.

В связи с важностью изложенного еще раз сформулируем первый закон Ньютона: существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют силы или действие сил скомпенсировано. 0чевидно, что если есть одна инерциальная система отсчета, то любая другая, движущаяся относительно нее равномерно и прямолинейно, является также инерциальной системой отсчета. В первом приближении система отсчета, связанная с Землей, является инерциальной, хотя строго говоря она неинерциальна, так как Земля вращается вокруг собственной оси и обращается вокруг Солнца. Однако ускорения этих движений малы.

В связи с трудностями, возникающими при решении задач динамики, особенно в тех случаях, когда рассматривается система тел, предложим схему, по которой следует решать задачи динамики.

1. Делаем рисунок и изображаем силы, действующие на тела со стороны других тел.

2. Выбираем тело отсчета, относительно которого будем рассматривать движение.

3. Связываем с телом отсчета систему координат.

4. Записываем основной закон динамики для каждого тела в отдельности.

5. Записываем уравнения в проекциях на оси координат.

6. Из полученных уравнений составляем систему алгебраических уравнений, при этом число уравнений должно быть равно числу неизвестных.

7. Решаем систему уравнений и находим неизвестные физические величины; проверяем наименование полученных величин.

Вращательное движение

Вращательным движением называется такое движение тела, при котором все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения, а плоскости окружностей перпендикулярны оси вращения.

Сложные движения можно рассматривать как сочетания поступательного и вращательного движения.

В предыдущей главе было введено понятие угловой скорости при равномерном движении тела по окружности. Угловую скорость принято рассматривать как вектор, направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта: если винт вращать в том же направлении, как вращается тело, то направление движения винта совпадает с направлением угловой скорости.

Если тело за любые равные промежутки времени поворачивается на одинаковые углы, то такое движение называют равномерным вращательным движением.

Используя понятие угловой скорости, можно дать еще одно определение равномерному вращательному движению. Равномерным вращательным движением называют движение с постоянной угловой скоростью ().

Для описания неравномерного вращательного движения вводят величину, которая характеризует изменение угловой скорости. Такой величиной является отношение изменения угловой скорости к малому интервалу времени, за который произошло это изменение. Эта величина называется средним угловым ускорением:

При ускоренном вращении векторы и совпадают по направлению; при замедленном вращении вектор направлен противоположно вектору.

Единица углового ускорения в СИ 1 .

Моментом силы называют вектор, направленный вдоль оси вращения и ориентированный по правилу правого винта относительно вектора силы. Модуль момента силы равен

где - плечо силы. Оно равно кратчайшему расстоянию между осью вращения и направлением силы.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Чтобы получить искомое уравнение, рассмотрим сначала простейший случай, когда материальная точка массой вращается на невесомом твердом стержне длиной вокруг оси (рис. 2.9). Второй закон Ньютона для этой точки запишется в виде:

Но тангенциальное ускорение

Подставив в формулу (2.10), получим:

Умножив обе части этого равенства на, чтобы свести действие силы к ее моменту, будем иметь:

Произведение массы точки на квадрат ее расстояния до оси называется моментом инерции материальной точки относительно оси:

Единица момента инерции в СИ - .

Тогда выражение (2.11) примет вид:

Поскольку векторы и направлены в одну и ту же сторону вдоль оси вращения, то выражение (2.13) можно записать в векторном виде:

Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения.

Моментом инерции тела называется сумма моментов инерции составляющих его частиц:

Для разных осей вращения момент инерции одного и того же тела различен.

Если известен момент инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс тела, то для расчета момента инерции этого тела относительно другой оси, параллельной первой и отстоящей от нее на расстоянии, используется соотношение, известное как теорема Штейнера:

В таблице приведены формулы для вычисления моментов инерции некоторых тел относительно оси, проходящей через центр масс этих тел.

3. Импульс тела. Закон сохранения импульса

Импульс тела (количество движения) p -- физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:

Импульс силы -- физическая величина, равная произведению силы на промежуток времени, в течение которого эта сила действует, . 2-й закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом:

Изменение импульса тела равно импульсу подействовавшей на него силы, т. е.

Очевидно, что закон (3.2) переходит в (3.1), если масса остается постоянной.

Если на тело действуют несколько сил, то в этом случае берется результирующий импульс всех сил, подействовавших на тело. В проекциях на оси координат, уравнение (3.2) может быть записано в виде

Из (3.3) следует, что если, например, и, то происходит изменение проекции импульса только на одно направление, и обратно, если изменяется проекция импульса только на одну из осей, то, следовательно, импульс силы, действующей на тело, имеет только одну проекцию, отличную от нуля. Например, пусть шарик, летящий под углом к горизонту, упруго ударяется о гладкую стенку. Тогда при отражении изменяется только х-компонента импульса (рис. 3.1). Проекции импульса на ось х:

Изменение импульса:

При упругом ударе о стенку скорости до и после удара равны: , поэтому

Следовательно, на шарик подействовал импульс силы, проекция которого на ось х есть, проекция на ось у

Изменение импульса:

Следовательно, проекция импульса силы на ось у равна.

Понятием импульса широко пользуются при решении задач о движении нескольких взаимодействующих тел. Совокупность взаимодействующих тел называется системой тел. Введем понятие внешних и внутренних сил. Внешними силами называются силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в нее. Внутренними силами называются силы, возникающие в результате взаимодействия тел, входящих в систему. Например, мальчик подбрасывает мячик. Рассмотрим систему тел мальчик -- мяч. Силы тяжести, действующие на мальчика и мяч, сила нормальной реакции, действующая на мальчика со стороны пола, -- внешние силы. Сила, с которой мяч давит на руку мальчика, сила, с которой мальчик действует на мяч, пока он не оторвется от руки, -- внутренние силы.

Рассмотрим систему из двух взаимодействующих тел 1 и 2. На тело 1 действуют внешняя сила и внутренняя сила (со стороны второго тела) . На второе тело действуют силы и. Согласно (3.2), изменение импульса первого тела за промежуток времени равно

изменение импульса второго тела:

Суммарный импульс системы равен

Сложив левые и правые части уравнений (3.4а) и (3.4б), получим изменение суммарного импульса системы:

По 3-му закону Ньютона

где - результирующий импульс внешних сил, действующих на тела системы. Итак, уравнение (3.5) показывает, что импульс системы может измениться только под действием внешних сил. Закон сохранения импульса можно сформулировать следующим образом:

Импульс системы сохраняется, если результирующий импульс внешних сил, действующих на тела, входящие в систему, равен нулю.

Системы, в которых на тела действуют только внутренние (т.е. тела системы взаимодействуют только друг с другом), называются замкнутыми (изолированными). Очевидно, что в замкнутых системах импульс системы сохраняется. Однако и в незамкнутых системах в некоторых случаях можно использовать закон сохранения импульса. Перечислим эти случаи.

1. Внешние силы действуют, но их результирующая равна 0.

2. Проекция внешних сил на какое-то направление равно 0, следовательно, проекция импульса на это направление сохраняется, хотя сам вектор импульса не остается постоянным.

3. Внешние силы много меньше внутренних сил (). Изменение импульса каждого из тел практически равно.

4. Механическая работа и энергия. Закон сохранения энергии

Пусть на тело действует постоянная сила F, и тело перемещается на. Механическая работа равна произведению модулей силы и перемещения точки приложения силы на косинус угла между вектором силы и вектором перемещения (рис. 4.1):

Проекция силы на вектор перемещения равна

следовательно,

Из формулы (4.1) следует, что при работа силы положительна, при, при.

На рис. 4.2 изображена зависимость, от s. Из формулы (4.2) очевидно, что работа силы F численно равна площади заштрихованного прямоугольника.

Если зависит от s по произвольному закону (рис. 4.3), то, разбивая полное перемещение на малые отрезки, в пределах каждого из которых значение можно считать постоянным, получим, что работа силы F на перемещении s равна площади криволинейной трапеции:

Работа силы упругости. Сила упругости равна. Зависимость силы упругости от х изображена на рис. 4.4. При растяжении пружины от х1 до х2 работа силы упругости с точностью до знака равна площади заштрихованной трапеции:

Работа силы упругости при растяжении отрицательна, так как сила упругости направлена в сторону, противоположную перемещению. При восстановлении размеров пружины работа силы упругости положительна, так как сила упругости по направлению совпадает с перемещением.

Работа силы тяготения. Сила тяготения зависит от расстояния от центра Земли r. Определим работу силы тяготения при перемещении тела массы точки А в точку В (рис. 4.5). На малом перемещении работа силы тяготения

где - масса Земли. Если мало, то и

Таким образом, работа при перемещении из точки А в точку В определится как сумма работ на малых перемещениях:

Если, а, то

есть работа силы тяготения при перемещении тела с поверхности Земли в бесконечно удаленную точку траектории.

Механическая энергия характеризует способность тела совершать механическую работу. Полная механическая энергия тела складывается из кинетической и потенциальной энергии.

Кинетическая энергия -- это энергия, которой обладает движущееся тело. Пусть на тело действует сила F, перемещение тела. Работа силы F равна (рис. 4.6)

Согласно 2-му закону Ньютона,

Если в точках 1 и 2 скорость тела и, то

Подставив в (4.6) выражения (4.7) и (4.8), получим

Итак, если на тело действует сила F, работа которой отлична от нуля, то это приводит к изменению величины, называемой кинетической энергией:

Из (4.9а) следует, что изменение кинетической энергии равно работе силы, действующей на тело. Если на тело действует несколько сил, то изменение кинетической энергии равно алгебраической сумме работ, совершаемых при данном перемещении каждой из сил.

Потенциальной энергией обладает система тел, взаимодействующих между собой, если силы взаимодействия консервативны. Консервативной (потенциальной) силой называется сила, работа которой не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек траектории.

Рассмотрим перемещение массы m из точки 1 в точку 2 по различным траекториям (рис. 4.7). Работа силы тяжести тела по прямой определяется выражением

Поскольку,

Работа силы тяжести при движении тела по траектории:

Подсчитаем работу силы тяжести при движении тела по траектории III. Представим траекторию с какой угодно степенью точности в виде ломаной, состоящей из вертикальных и горизонтальных отрезков. Тогда работа силы тяжести при перемещении по горизонтали равна нулю, по вертикальным отрезкам, . Суммарная работа есть

Как показано, работа силы тяжести не зависит от траектории. Сила тяжести - консервативная сила. Очевидно, что работа консервативной силы по замкнутому контуру равна нулю. Сила тяготения и сила упругости также являются консервативными силами. При падении тела потенциальная энергия уменьшается. Из (4.9) следует

Изменение потенциальной энергии равно работе консервативной силы, взятой с обратным знаком:

Потенциальная энергия рассчитывается с точностью до постоянной величины, поэтому всегда надо указывать нулевой уровень отсчета потенциальной энергии. Итак, потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h () равна

Потенциальная энергия, обусловленная силой тяготения, есть

; при. (4.12)

Потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины равна

При. (4.13)

Как видно из примеров, потенциальная энергия зависит от взаимного расположения тел или частей тела. Неконсервативными силами в механике являются сила трения и сила сопротивления.

Рассмотрим систему двух тел. На тела могут действовать внешние и внутри силы, которые могут быть консервативными и неконсервативными. Изменение кинетической энергии каждого из тел равно сумме работ всех сил, действующих на это тело, а именно, для первого тела:

Подробно остановимся на этих силах. Сила трения может быть как внутренней, так и внешней силой; обозначим работу всех сил трения. На тело действуют консервативные внутренние силы, работа которых. Тело может находиться и в поле внешних консервативных сил, работа которых приведет к изменению потенциальной энергии. На тело может действовать также внешняя сила, которой мы не будем ставить в соответствие изменение потенциальной энергии. Ее работа есть.

Тогда изменение кинетической энергии тел определяется по формуле

Аналогично, для второго тела имеем

Поскольку

сложив левые и правые части уравнений и перенеся в левую часть, для изменения полной механической энергий системы, равной

Согласно 3-му закону Ньютона, сумма работ внутренних сил равна 0, это означает, что

т.е. изменение механической энергии равно работе внешних сил и сил трения.

Закон сохранения механической энергии

Механическая энергия системы сохраняется, если работа внешних сил, действующих на тела, входящие в систему, равна нулю и отсутствуют силы трения, т.е. нет перехода механической энергии в другие виды энергии, например, в тепло:

Отметим, что законы сохранения позволяют по начальному состоянию системы (по начальным скоростям) определить конечное состояние, не выясняя все детали взаимодействия тел и не уточняя величины сил взаимодействия.

На практике часто бывает полезно знать, как быстро может быть совершена та или иная работа. Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощностью.

Мощность, развиваемая постоянной силой тяги, равна отношению работы этой силы на некотором перемещении к промежутку времени, за которое это перемещение произошло. Мощность определяется по формуле

Поскольку, то, подставляя это выражение в формулу (4.15), получим

где - скорость тела, - угол между векторами F и v. Если движение тела равномерное, то под в (4.16) понимается скорость равномерного движения. Если движение не равномерное, но требуется определить среднюю мощность, развиваемую силой тяги на перемещении s, то под в (4.16) понимается средняя скорость перемещения. Если же требуется найти мощность в некоторый заданный момент времени (мгновенную мощность), то, беря малые промежутки времени и переходя к пределу при, получим

т.е. - мгновенная скорость тела. Понятие мощности вводится для оценки работы за единицу времени, которую может совершить какой-то механизм (насос, подъемный кран, мотор машины и т.д.). Поэтому в формулах (4.14)-(4.17) под F всегда понимается только сила тяги.

Единицей измерения мощности в системе СИ является Ватт (Вт)

Сэр Исаак Ньютон, получив по голове яблоком, вывел закон всемирного тяготения, который гласит:

Любые два тела притягиваются друг к другу с силой прямо пропорциональной произведению масс тела и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

F = (Gm 1 m 2)/R 2 , где

m1, m2 - массы тел
R - расстояние между центрами тел
G = 6,67·10 -11 Нм 2 /кг - константа

Определим ускорение свободного падения на поверхности Земли:

F g = m тела g = (Gm тела m Земли)/R 2

R (радиус Земли) = 6,38·10 6 м
m Земли = 5,97·10 24 кг

m тела g = (Gm тела m Земли)/R 2 или g = (Gm Земли)/R 2

Обратите внимание, что ускорение свободного падения не зависит от массы тела!

g = 6,67·10 -11 ·5,97·10 24 /(6,38·10 6) = 398,2/40,7 = 9,8 м/с 2

Мы говорили ранее, что силу тяжести (гравитационное притяжение) называют весом .

На поверхности Земли вес и масса тела имеют одинаковое значение. Но по мере удаления от Земли вес тела будет уменьшаться (т.к. будет увеличиваться расстояние между центром Земли и телом), а масса будет оставаться постоянной (поскольку масса - это выражение инерции тела). Масса измеряется в килограммах , вес - в ньютонах .

Благодаря силе гравитации, небесные тела вращаются друг относительно друга: Луна вокруг Земли; Земля вокруг Солнца; Солнце вокруг центра нашей Галактики и т.д. При этом тела удерживаются центробежной силой, которую обеспечивает сила гравитации.

Это же относится и к искусственным телам (спутникам), вращающимся вокруг Земли. Окружность по которой спутник вращается, называется орбитой вращения.

При этом на спутник действует центробежная сила:

F ц = (m спутника V 2)/R

Сила гравитации:

F g = (Gm спутника m Земли)/R 2

F ц = F g = (m спутника V 2)/R = (Gm спутника m Земли)/R 2

V2 = (Gm Земли)/R; V = √(Gm Земли)/R

По этой формуле можно вычислить скорость любого тела, вращающегося по орбите с радиусом R вокруг Земли.

Естественным спутником Земли является Луна. Определим ее линейную скорость на орбите:

Масса Земли = 5,97·10 24 кг

R - это расстояние между центром Земли и центром Луны. Чтобы определить это расстояние, нам надо сложить три величины: радиус Земли; радиус Луны; расстояние от Земли до Луны.

R луны = 1738 км = 1,74·10 6 м
R земли = 6371 км = 6,37·10 6 м
R зл = 384400 км = 384,4·10 6 м

Общее расстояние между центрами планет: R = 392,5·10 6 м

Линейная скорость Луны:

V = √(Gm Земли)/R = √6,67·10 -11 ·5,98·10 24 /392,5·10 6 = 1000 м/с = 3600 км/ч

Луна движется по круговой орбите вокруг Земли с линейной скоростью в 3600 км/ч !

Определим теперь период обращения Луны вокруг Земли. За период обращения Луна преодолевает расстояние, равное длине орбиты - 2πR . Орбитальная скорость Луны: V = 2πR/T ; с другой стороны: V = √(Gm Земли)/R :

2πR/T = √(Gm Земли)/R отсюда T = 2π√R 3 /Gm Земли

T = 6,28·√(60,7·10 24)/6,67·10 -11 ·5,98·10 24 = 3,9·10 5 с

Период обращения Луны вокруг Земли составляет 2 449 200 секунд, или 40 820 минут, или 680 часов, или 28,3 суток.

1. Вертикальное вращение

Ранее в цирках был очень популярным трюк в котором велосипедист (мотоциклист) делал полный оборот внутри окружности, расположенной вертикально.

Какой же минимальной скоростью должен обладать трюкач, чтобы в верхней точке не свалиться вниз?

Для прохождения верхней точки без падения тело должно обладать скоростью, создающей такую центробежную силу, которая бы компенсировала силу тяжести.

Центробежная сила: F ц = mV 2 /R

Сила тяжести: F g = mg

F ц = F g ; mV 2 /R = mg; V = √Rg

И опять обратите внимание, что в расчетах отсутствует масса тела! Следует учесть, что это скорость, которой должно обладать тело в верхней точке!

Допустим, что на арене цирка установлена окружность с радиусом 10 метров. Рассчитаем безопасную скорость для трюка:

V = √Rg = √10·9,8 = 10 м/с = 36 км/ч

Этот закон, называемый законом всемирного тяготения, в математической форме записывается следующим образом:

где m 1 и m 2 – массы тел, R – расстояние между ними (см. рис. 11а), а G - гравитационная постоянная, равная 6,67.10-11 Н.м 2 /кг2.

Закон всемирного тяготения был впервые сформулирован И. Ньютоном, когда он пытался объяснить один из законов И. Кеплера, утверждающий, что для всех планет отношение куба их расстояния R до Солнца к квадрату периода T обращения вокруг него одинаково, т.е.

Выведем закон всемирного тяготения так, как сделал это Ньютон, считая, что планеты движутся по окружностям. Тогда по второму закону Ньютона на планету массой mПл, движущуюся по окружности радиуса R со скоростью v и центростремительным ускорением v2/R должна действовать сила F, направленная к Солнцу (см. рис. 11б) и равная:

Скорость v планеты можно выразить через радиус R орбиты и период обращения T:

Подставляя (11.4) в (11.3) получаем следующее выражение для F:

Из закона Кеплера (11.2) следует, что T2 = const.R3 . Следовательно, (11.5) можно преобразовать в:

Таким образом, Солнце притягивает планету с силой прямо пропорциональной массе планеты и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Формула (11.6) очень похожа на (11.1), не хватает лишь массы Солнца в числителе дроби справа. Однако если сила притяжения между Солнцем и планетой зависит от массы планеты, то эта сила должна зависеть также и от массы Солнца, а значит, константа в правой части (11.6) содержит массу Солнца в качестве одного из сомножителей. Поэтому Ньютон выдвинул своё знаменитое предположение, что гравитационная сила должна зависеть от произведения масс тел и закон стал таким, каким мы его записали в (11.1).

Закон всемирного тяготения и третий закон Ньютона не противоречат друг другу. По формуле (11.1) сила, с которой тело 1 притягивает тело 2, равно силе, с которой тело 2 притягивает тело 1.

Для тел обычных размеров гравитационные силы очень малы. Так, два рядом стоящих легковых автомобиля притягиваются друг к другу с силой, равной весу капли дождя. С тех пор, как Г. Кавендиш в 1798 г. определил значение гравитационной постоянной, формула (11.1) помогла совершить очень много открытий в «мире огромных масс и расстояний». Например, зная величину ускорения свободного падения (g=9,8 м/с2) и радиус Земли (R=6,4.106 м), можно вычислить её массу mЗ следующим образом. На каждое тело массой m1 вблизи поверхности Земли (т.е. на расстоянии R от её центра) действует гравитационная сила её притяжения, равная m1g, подстановка которой в (11.1) вместо F даёт:

откуда получаем, что m З = 6.1024 кг.

Вопросы для повторения:

· Сформулируйте закон всемирного тяготения?

· Что такое гравитационная постоянная?

Рис. 11. (а) – к формулировке закона всемирного тяготения; (б) – к выводу закона всемирного тяготения из закона Кеплера.

§ 12. СИЛА ТЯЖЕСТИ. ВЕС. НЕВЕСОМОСТЬ. ПЕРВАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ.

«Тела притягиваются друг к другу с силой, модуль которой пропорционален произведению их масс и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними.» Кому принадлежит данное утверждение? «Тела притягиваются друг к другу с силой, модуль которой пропорционален произведению их масс и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними.» Кому принадлежит данное утверждение? Галилео Галилей Галилео Галилей Ньютон Ньютон Архимед Архимед Торричелли Торричелли

Закон... звучит следующим образом: Закон... звучит следующим образом: «Давление в жидкостях и газах передаётся без изменения в каждую точку жидкости или газа.» «Давление в жидкостях и газах передаётся без изменения в каждую точку жидкости или газа.» Архимеда Архимеда Ньютона Ньютона Паскаля Паскаля Ампера Ампера

Закон... гласит: Закон... гласит: « Сила тока в участке цепи прямо пропорционально напряжению и обратно пропорционально сопротивлению» « Сила тока в участке цепи прямо пропорционально напряжению и обратно пропорционально сопротивлению» Ампера Ампера Эрстеда Эрстеда Ома Ома Фарадея Фарадея

Явление возникновения электрического тока в проводнике, пересекающем магнитные линии, называется электромагнитной индукцией. Кем она была открыта? Явление возникновения электрического тока в проводнике, пересекающем магнитные линии, называется электромагнитной индукцией. Кем она была открыта? Ампером Ампером Омом Омом Фарадеем Фарадеем Эрстедом Эрстедом