Обратная матрица примеры решения. Нахождение обратной матрицы. Решение обратной матрицы

Похожие на обратные по многим свойствам.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Обратная матрица (2 способа нахождения)

✪ Как находить обратную матрицу - bezbotvy

✪ Обратная матрица #1

✪ Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvy

✪ Обратная Матрица

Субтитры

Свойства обратной матрицы

• det A − 1 = 1 det A {\displaystyle \det A^{-1}={\frac {1}{\det A}}} , где det {\displaystyle \ \det } обозначает определитель .
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 {\displaystyle \ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}} для двух квадратных обратимых матриц A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} .
• (A T) − 1 = (A − 1) T {\displaystyle \ (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}} , где (. . .) T {\displaystyle (...)^{T}} обозначает транспонированную матрицу.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 {\displaystyle \ (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}} для любого коэффициента k ≠ 0 {\displaystyle k\not =0} .
• E − 1 = E {\displaystyle \ E^{-1}=E} .
• Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b - ненулевой вектор) где x {\displaystyle x} - искомый вектор, и если A − 1 {\displaystyle A^{-1}} существует, то x = A − 1 b {\displaystyle x=A^{-1}b} . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Способы нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы

Метод Гаусса-Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E . Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса-Жордана применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам, но не в перемешку). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A −1 .

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λ i {\displaystyle \Lambda _{i}} (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 {\displaystyle \Lambda _{1}\cdot \dots \cdot \Lambda _{n}\cdot A=\Lambda A=E\Rightarrow \Lambda =A^{-1}} . Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] {\displaystyle \Lambda _{m}={\begin{bmatrix}1&\dots &0&-a_{1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_{m-1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_{m+1m}/a_{mm}&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_{nm}/a_{mm}&0&\dots &1\end{bmatrix}}} .

Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ {\displaystyle \Lambda } , то есть будет искомой. Сложность алгоритма - O (n 3) {\displaystyle O(n^{3})} .

С помощью матрицы алгебраических дополнений

Матрица, обратная матрице A {\displaystyle A} , представима в виде

A − 1 = adj (A) det (A) {\displaystyle {A}^{-1}={{{\mbox{adj}}(A)} \over {\det(A)}}}

где adj (A) {\displaystyle {\mbox{adj}}(A)} - присоединенная матрица ;

Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O det и равна O(n²)·O det .

Использование LU/LUP-разложения

Матричное уравнение A X = I n {\displaystyle AX=I_{n}} для обратной матрицы X {\displaystyle X} можно рассматривать как совокупность n {\displaystyle n} систем вида A x = b {\displaystyle Ax=b} . Обозначим i {\displaystyle i} -ый столбец матрицы X {\displaystyle X} через X i {\displaystyle X_{i}} ; тогда A X i = e i {\displaystyle AX_{i}=e_{i}} , i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} ,поскольку i {\displaystyle i} -м столбцом матрицы I n {\displaystyle I_{n}} является единичный вектор e i {\displaystyle e_{i}} . другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³) .

Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение P A = L U {\displaystyle PA=LU} . Пусть P A = B {\displaystyle PA=B} , B − 1 = D {\displaystyle B^{-1}=D} . Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D = U − 1 L − 1 {\displaystyle D=U^{-1}L^{-1}} . Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида U D = L − 1 {\displaystyle UD=L^{-1}} и D L = U − 1 {\displaystyle DL=U^{-1}} . Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для n (n + 1) 2 {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}} из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для n (n − 1) 2 {\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}} из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. получаем равенство A − 1 = D P {\displaystyle A^{-1}=DP} .

В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

Сложность алгоритма - O(n³).

Итерационные методы

Методы Шульца

{ Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i {\displaystyle {\begin{cases}\Psi _{k}=E-AU_{k},\\U_{k+1}=U_{k}\sum _{i=0}^{n}\Psi _{k}^{i}\end{cases}}}

Оценка погрешности

Выбор начального приближения

Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору U 0 {\displaystyle U_{0}} , обеспечивающие выполнение условия ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы A A T {\displaystyle AA^{T}} (а именно, если A - симметричная положительно определённая матрица и ρ (A) ≤ β {\displaystyle \rho (A)\leq \beta } , то можно взять U 0 = α E {\displaystyle U_{0}={\alpha }E} , где ; если же A - произвольная невырожденная матрица и ρ (A A T) ≤ β {\displaystyle \rho (AA^{T})\leq \beta } , то полагают U 0 = α A T {\displaystyle U_{0}={\alpha }A^{T}} , где также α ∈ (0 , 2 β) {\displaystyle \alpha \in \left(0,{\frac {2}{\beta }}\right)} ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что ρ (A A T) ≤ k A A T k {\displaystyle \rho (AA^{T})\leq {\mathcal {k}}AA^{T}{\mathcal {k}}} , положить U 0 = A T ‖ A A T ‖ {\displaystyle U_{0}={\frac {A^{T}}{\|AA^{T}\|}}} ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что ‖ Ψ 0 ‖ {\displaystyle \|\Psi _{0}\|} будет малой (возможно, даже окажется ‖ Ψ 0 ‖ > 1 {\displaystyle \|\Psi _{0}\|>1} ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

Примеры

Матрица 2х2

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \end{bmatrix}.}

Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что a d − b c = det A ≠ 0 {\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0} .

Для обратной матрицы существует уместная аналогия с обратным числом. Для каждого числа a , не равного нулю, существует такое число b , что произведение a и b равно единице: ab = 1 . Число b называется обратным для числа b . Например, для числа 7 обратным является число 1/7, так как 7*1/7=1.

Обратной матрицей , которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А , называется такая матрица

произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е,
. (1)

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.

Нахождение обратной матрицы - задача, которая чаще решается двумя методами:

• методом алгебраических дополнений, при котором требуется находить определители и транспонировать матрицы;
• методом исключения неизвестных Гаусса, при котором требуется производить элементарные преобразования матриц (складывать строки, умножать строки на одно и то же число и т. д.).

Для особо любознательных существуют и другие методы, например, метод линейных преобразований. На этом уроке разберём три упомянутых метода и алгоритмы нахождения обратной матрицы этими методами.

Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует.

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной , несингулярной ), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной , сингулярной ), если её определитель равен нулю.

Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.

Нахождение обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

Первый шаг для нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса - приписать к матрице A единичную матрицу того же порядка, отделив их вертикальной чертой. Мы получим сдвоенную матрицу . Умножим обе части этой матрицы на , тогда получим

,

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

1. К матрице A приписать единичную матрицу того же порядка.

2. Полученную сдвоенную матрицу преобразовать так, чтобы в левой её части получилась единичная матрица, тогда в правой части на месте единичной матрицы автоматически получится обратная матрица. Матрица A в левой части преобразуется в единичную матрицу путём элементарных преобразований матрицы.

2. Если в процессе преобразования матрицы A в единичную матрицу в какой-либо строке или в каком-либо столбце окажутся только нули, то определитель матрицы равен нулю, и, следовательно, матрица A будет вырожденной, и она не имеет обратной матрицы. В этом случае дальнейшее нахождение обратной матрицы прекращается.

Пример 2. Для матрицы

найти обратную матрицу.

и будем её преобразовывать, так чтобы в левой части получилась единичная матрица. Начинаем преобразования.

Умножим первую строку левой и правой матрицы на (-3) и сложим её со второй строкой, а затем умножим первую строку на (-4) и сложим её с третьей строкой, тогда получим

.

Чтобы по возможности не было дробных чисел при последующих преобразованиях, создадим предварительно единицу во второй строке в левой части сдвоенной матрицы. Для этого умножим вторую строку на 2 и вычтем из неё третью строку, тогда получим

.

Сложим первую строку со второй, а затем умножим вторую строку на (-9) и сложим её с третьей строкой. Тогда получим

.

Разделим третью строку на 8, тогда

.

Умножим третью строку на 2 и сложим её со второй строкой. Получается:

.

Переставим местами вторую и третью строку, тогда окончательно получим:

.

Видим, что в левой части получилась единичная матрица, следовательно, в правой части получилась обратная матрица . Таким образом:

.

Можно проверить правильность вычислений, умножим исходную матрицу на найденную обратную матрицу:

В результате должна получиться обратная матрица.

онлайн калькулятора для нахождения обратной матрицы .

Пример 3. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

и будем её преобразовывать.

Первую строку умножаем на 3, а вторую на 2, и вычитаем из второй, а затем первую строку умножаем на 5, а третью на 2 и вычитаем из третьей строки, тогда получим

.

Первую строку умножаем на 2 и складываем её со второй, а затем из третьей строки вычитаем вторую, тогда получим

.

Видим, что в третьей строке в левой части все элементы получились равными нулю. Следовательно, матрица вырожденная и обратной матрицы не имеет. Дальнейшее нахождение обратной марицы прекращаем.

Проверить решение можно с помощью

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Определение 1

Метод обратной матрицы - это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Пример 1

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи : А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n - матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B .

Так как А - 1 × А = Е, то Е × X = А - 1 × В или X = А - 1 × В.

Замечание

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю. Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А.

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю, у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Пример 2

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Как решить?

• Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

• Выражаем из этого уравнения X:

• Находим определитель матрицы А:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t А не равняется 0, следовательно для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

• Находим обратную матрицу А - 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А:

А 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6 ,

А 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7 ,

А 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5 ,

А 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17 ,

А 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1 ,

А 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10 ,

А 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10 ,

А 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5 ,

А 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0 .

• Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А:

А * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A - 1 = 1 d e t A (A *) T: А - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,

• Умножаем обратную матрицу А - 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Ответ : x 1 = - 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Определение 1: матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю.

Определение 2: матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю.

Матрица "A" называется обратной матрицей , если выполняется условие A*A-1 = A-1 *A = E (единичной матрице).

Квадратная матрица обратима только в том случае, когда она является невырожденной.

Схема вычисления обратной матрицы:

1) Вычислить определитель матрицы "A", если ∆ A = 0, то обратной матрицы не существует.

2) Найти все алгебраические дополнения матрицы "A".

3) Составить матрицу из алгебраических дополнений (Aij )

4) Транспонировать матрицу из алгебраических дополнений (Aij )T

5) Умножить транспонированную матрицу на число, обратное определителю данной матрицы.

6) Выполнить проверку:

На первый взгляд может показаться, что это сложно, но на самом деле всё очень просто. Все решения основаны на простых арифметических действиях, главное при решении не путаться со знаками "-" и "+", и не терять их.

А теперь давайте вместе с Вами решим практическое задание, вычислив обратную матрицу.

Задание: найти обратную матрицу "A", представленную на картинке ниже:

Решаем всё в точности так, как это указано в план-схеме вычисления обратной матрицы.

1. Первое, что нужно сделать, это найти определитель матрицы "A":

Пояснение:

Мы упростили наш определитель, воспользовавшись его основными функциями. Во первых, мы прибавили ко 2 и 3 строке элементы первой строки, умноженные на одно число.

Во-вторых, мы поменяли 2 и 3 столбец определителя, и по его свойствам поменяли знак перед ним.

В-третьих, мы вынесли общий множитель (-1) второй строки, тем самым, снова поменяв знак, и он стал положительным. Также мы упростили 3 строку также, как в самом начале примера.

У нас получилась треугольный определитель, у которого элементы ниже диагонали равны нулю, и по 7 свойству он равен произведению элементов диагонали. В итоге мы получили ∆ A = 26, следовательно обратная матрица существует.

А11 = 1*(3+1) = 4

А12 = -1*(9+2) = -11

А13 = 1*1 = 1

А21 = -1*(-6) = 6

А22 = 1*(3-0) = 3

А23 = -1*(1+4) = -5

А31 = 1*2 = 2

А32 = -1*(-1) = -1

А33 = 1+(1+6) = 7

3. Следующий шаг - составление матрицы из получившихся дополнений:

5. Умножаем эту матрицу на число, обратное определителю, то есть на 1/26:

6. Ну а теперь нам просто нужно выполнить проверку:

В ходе проверки мы получили единичную матрицу, следовательно, решение было выполнено абсолютно верно.

2 способ вычисления обратной матрицы.

1. Элементарное преобразование матриц

2. Обратная матрица через элементарный преобразователь.

Элементарное преобразование матриц включает:

1. Умножение строки на число, не равное нулю.

2. Прибавление к любой строке другой строки, умноженной на число.

3. Перемена местами строк матрицы.

4. Применяя цепочку элементарных преобразований, получаем другую матрицу.

А-1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A-1 )

2. A-1 * A = E

Рассмотрим это на практическом примере с действительными числами.

Задание: Найти обратную матрицу.

Решение:

Выполним проверку:

Небольшое разъяснение по решению:

Сперва мы переставили 1 и 2 строку матрицы, затем умножили первую строку на (-1).

После этого умножили первую строку на (-2) и сложили со второй строкой матрицы. После чего умножили 2 строку на 1/4.

Заключительным этапом преобразований стало умножение второй строки на 2 и прибавлением с первой. В результате слева у нас получилась единичная матрица, следовательно, обратная матрица - это матрица справа.

После проверки мы убедились в правильности решения.

Как вы видите, вычисление обратной матрицы - это очень просто.

В заключении данной лекции хотелось бы также уделить немного времени свойствам такой матрицы.

Исходной по формуле: A^-1 = A*/detA, где A* - присоединенная матрица, detA - исходной матрицы. Присоединенная матрица - это транспонированная матрица дополнений к элементам исходной матрицы.

Первым делом найдите определитель матрицы, он должен быть отличен от нуля, так как дальше определитель будет использоваться в качестве делителя. Пусть для примера дана матрица третьего (состоящая из трех строк и трех столбцов). Как видно, определитель матрицы не равен нулю, поэтому существует обратная матрица.

Найдите дополнения к каждому элементу матрицы A. Дополнением к A называется определитель подматрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца, причем этот определитель берется со знаком. Знак определяется умножением определителя на (-1) в степени i+j. Таким образом, например, дополнением к A будет определитель, рассмотренный на рисунке. Знак получился так: (-1)^(2+1) = -1.

В результате вы получите матрицу дополнений, теперь транспонируйте ее. Транспонирование - это операция, симметричная относительно главной диагонали матрицы, столбцы и строки меняются местами. Таким образом, вы нашли присоединенную матрицу A*.